Die natürlichen Zahlen haben seit jeher Mathematiker inspiriert, neue Strukturen, Muster und Beziehungen zu entdecken. In dieser Arbeit betrachten wir eine rekursiv definierte Funktion, die im Ursprung startet und um 1 nach rechts hüpfen oder sich an der x-Achse spiegelt um sich danach 90° nach Links zu drehen. Trotz dieser Einfachheit offenbaren sich ungeahnte Eigenschaften und Muster. $\newcommand{\i}{\mathrm{i}}$ $\newcommand{\g}[1]{g\left(#1\right)}$ $\newcommand{\Re}[1]{\mathfrak{R}\left(#1\right)}$ $\newcommand{\Im}[1]{\mathfrak{I}\left(#1\right)}$ $\newcommand{\G}[1]{G\left(#1\right)}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\d}[1]{\delta\left(#1\right)}$ $\newcommand{\s}[1]{\sigma\left(#1\right)}$
Sei $g : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0[\i]$ eine rekursiv definierte Funktion:
$$\g{n} := \begin{cases} 0 + 0\i & \text{wenn } n=0 \\ \g{n-1} + 1 & \text{wenn } n \text{ ungerade} \\ \overline{ \g{\frac{n}{2}} } \cdot \i & \text{wenn } n \text{ gerade} \end{cases} $$
Der Gaußscher Zahlenring $\mathbb{Z}[\i]$ ist eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen und entsteht aus dem Ring $\mathbb{Z}$ durch Adjunktion der imaginären Einheit $\i$. Die gaußschen Zahlen sind die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in der gaußschen Zahlenebene und bilden dort ein zweidimensionales Gitter. Da die Funktion $\g{x}$ die Menge $\mathbb{N}_0$ in nichtleere paarweise disjunkte Teilmengen zerlegt, kann das Gitter auch als Partition aufgefasst werden.
Für später definieren wir uns:
$$\G{z} := \{n \in \mathbb{N}_0 | \g{n} = z\}$$
$$L_i := \{n \in \mathbb{N}_0 | i=\delta(\g{n})\}$$
$$\d{z} = \Re{z} - \Im{z}$$
$$\s{z} = \Re{z} + \Im{z}$$
$$\max\{z\} = \max\{|\Re{z}|, |\Im{z}|\}$$
$$\min\{z\} = \min\{|\Re{z}|, |\Im{z}|\}$$
Berechnung der Werte von $\g{n}$ für $n \in [1,6]$:
$\g{1} = \g{1 - 1} + 1 = \g{0} + 1 = 0 + 1 = 1$
$\g{2} = \overline{\g{\frac{2}{2}}} \cdot \i = \overline{\g{1}} \cdot \i = \overline{1} \cdot \i = 1 \cdot \i = \i$
$\g{3} = \g{2} + 1 = \i + 1 = 1 + \i$
$\g{4} = \overline{\g{2}} \cdot \i = \overline{\i} \cdot \i = -\i \cdot \i = 1 $
$\g{5} = \g{4} + 1 = 1 + 1 = 2$
$\g{6} = \overline{\g{3}} \cdot \i = \overline{1 + \i} \cdot \i = (1 - \i) \cdot \i = \i - \i^2 = \i + 1 = 1 + \i$
Wir sehen das $\g{2} + \g{1} = \g{3}$ ist und auch $\g{6} = \g{3}$ gilt. Somit kann die Funktion weder injektiv noch bijektiv sein. Außerdem sieht man an den zwei Beispielen, das die Formeln $\g{n} + \g{m} = \g{n + m}$ und $\g{2n} = \g{n}$ gelten können. Da aber $\g{2} + \g{3} \neq \g{5}$ und $\g{2} \neq \g{1}$ ist, gelten diese Formeln nicht allgemein.
$$ \g{4n} = \g{2 \cdot 2n} = \overline{\g{2n}} \cdot \i = \overline{\overline{\g{n}} \cdot \i} \cdot \i = \overline{\overline{\g{n}}} \cdot \overline{\i} \cdot \i = \g{n} \cdot (-\i) \cdot \i = \g{n} $$
$$ \g{4n + 1} = \g{4n} + 1 = \g{n} + 1 $$
$$ \g{4n + 2} = \g{2 \cdot (2n + 1)} = \overline{\g{2n + 1}} \cdot \i = \overline{\g{2n} + 1} \cdot \i = \overline{\overline{\g{n}}\i + 1} \cdot \i \\ = (\g{n}\overline{\i} + 1) \cdot \i = (\g{n}(-\i) + 1) \cdot \i = \g{n} + \i $$
$$ \g{4n + 3} = \g{4n + 2} + 1 = \g{n} + \i + 1 = \g{n} + 1 + \i $$
Zu zeigen ist, dass $g(4^k \cdot n) = g(n)$ für $k \geq 0$ gilt, wobei $n \in \mathbb{N}$ fest bleibt.
Für $k = 0$ gilt $4^0 \cdot n = n$. Dann ist: $$ g(4^0 \cdot n) = g(n), $$
Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges $k \geq 0$, d.h.: $$ g(4^k \cdot n) = g(n). $$
Zu zeigen: $g(4^{k+1} \cdot n) = g(n)$.
Wir schreiben $4^{k+1} \cdot n$ als $4 \cdot (4^k \cdot n)$. Dann gilt: $$ g(4^{k+1} \cdot n) = g(4 \cdot (4^k \cdot n)) = g(4^k \cdot n). $$
Nach der Induktionsvoraussetzung gilt: $$ g(4^k \cdot n) = g(n). $$
Also folgt: $$ g(4^{k+1} \cdot n) = g(n). $$
Damit ist die Behauptung für alle \( k \geq 0 \) bewiesen: $$ g(4^k \cdot n) = g(n). $$
Für den Spezialfall $n=1$ ergibt sich somit: $\g{4^k} = 1$.
Wir beweisen die Aussage mit vollständiger Induktion über $k$, wobei $n \in \mathbb{N}$ fest bleibt. Zu beachten ist, das in dieser Formel $n=0$ nicht erlaubt ist, da $-1$ kein Element der Definitionsmenge von $\g{n}$ ist.
Für \( k = 0 \) ergibt sich: $$ g(4^0 \cdot n - 1) = g(n-1) = g(n-1) + 0 \cdot g(3). $$
Angenommen, die Formel gilt für ein \( k \in \mathbb{N}_0 \), d.h.: $$ g(4^k \cdot n - 1) = g(n-1) + k \cdot g(3). $$
Zu zeigen ist, dass die Formel auch für \( k+1 \) gilt: $$ g(4^{k+1} \cdot n - 1) = g(n-1) + (k+1) \cdot g(3). $$
Mit Hilfe schon bewiesener Vereinfachungen der Funktion $g$ ergibt sich: $$ g(4^{k+1} \cdot n - 1) = g(4 \cdot (4^k \cdot n - 1) + 3) = g(4^k \cdot n - 1) + g(3). $$
Setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein: $$ g(4^{k+1} \cdot n - 1) = g(n-1) + k \cdot g(3) + g(3) = g(n-1) + (k+1) \cdot g(3). $$
Die Formel $$ g(4^k \cdot n - 1) = g(n-1) + k \cdot g(3) $$ wurde durch vollständige Induktion über $k$ bewiesen. Für den Spezialfall $n=1$ ergibt sich somit: $$\g{4^k - 1} = \g{1 - 1} + k \cdot \g{3} = k \cdot \g{3}$$
Vorab stellt sich die Frage, ob $4^k - 1$ immer ganzzahlig durch $3$ teilbar ist und somit der übergebene Funktionswert ein Element aus $\mathbb{N}_0$ ist.
Für $k \geq 0$ ist $4^k−1$ immer durch $3$ teilbar. Dies liegt daran, dass $4 \equiv 1 \mod 3$ ist, also gilt:
$$ 4^k \equiv 1^k \equiv 1 \mod 3 $$
Daraus folgt:
$$ 4^k−1 \equiv 0 \mod 3 $$
Somit ist der übergebene Funktionswert teil der Definitionsmenge.
Zu zeigen: Für alle $k \in \mathbb{N}_0$ gilt: $$ g\left(\frac{4^k - 1}{3}\right) = k $$
Induktionsanfang:
Für $k = 0$ gilt:
$$ \g{\frac{4^0 - 1}{3}} = \g{\frac{1 - 1}{3}} = g(0) = 0 $$
Induktionsschritt:
Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges $k \in \mathbb{N}_0$, das heißt:
$$ \g{\frac{4^k - 1}{3}} = k $$
Zu zeigen ist, dass die Behauptung auch für $k+1$ gilt, also:
$$ \g{\frac{4^{k+1} - 1}{3}} = k + 1 $$
Berechnen wir den Ausdruck:
$$ \g{\frac{4^{k+1} - 1}{3}} = \g{\frac{4 \cdot 4^k - 4 + 4 - 1}{3}} = \g{4 \cdot \frac{4^k - 1}{3} + 1} = \g{\frac{4^k - 1}{3}} + 1 $$
Setzen wir nun die Induktionsannahme ein, erhalten wir:
$$ \g{\frac{4^{k+1} - 1}{3}} = k + 1 $$
Schlussfolgerung:
Da der Induktionsanfang gezeigt wurde und der Induktionsschritt die Gültigkeit für $k+1$ beweist, folgt durch vollständige Induktion: $$ g\left(\frac{4^k - 1}{3}\right) = k \quad \text{für alle } k \in \mathbb{N}_0. $$
Es ergibt sich weiterhin:
$$\g{2\frac{4^k - 1}{3}} = \overline{ \g{\frac{4^k - 1}{3}} }\cdot\i = \overline{k} \cdot \i = k\cdot\i$$
Für $m\in {0,1,2}$ gilt:
$$\g{3n + m} = z \Rightarrow \d{z} \equiv m \mod 3$$
Zwar ist die Funktion surjektiv, aber es gibt immer eine kleinste Zahl n die zu einer gaußschen Zahl führt.
$$\min\{\G{z}\} = \frac{4^{\Re{z}} + 2 \cdot 4^{\Im{z}}}{3} - 1$$
Die Punkte die durch $\g{0}$ bis $\g{3}$ beschrieben werden ergeben ein gespiegeltes Z.
Die gilt auch für $\g{4}$ bis $\g{7}$, $\g{8}$ bis $\g{11}$ und $\g{12}$ bis $\g{15}$.
Wenn man jedes Quadrupel als eine Einheit betrachte bilden diese 4 ebenfalls ein gespiegeltes Z. Diese Struktur setzt sich fraktal fort.
Für jedes $\g{k}$ existiert mindestens ein Paar $n + m = k$, sodass $\g{k} = \g{n + m}$. Dies funktioniert immer wenn $\g{n}$ nur einen Realteil und $\g{m}$ nur einen Imaginärteil hat. Die funktioniert auch wenn $n=4^k \cdot l$ und $m<4^k$ ist.
$$n, m \leq 4^k-1 \Rightarrow \max\{\g{n+m}\} \leq k+1$$
Wenn $\Re{\g{n}} = 0$ ist $n$ gerade. Der Umkehrschluss gilt nicht.
Interessanter wird es wenn man nur die ungeraden Zahlen nimmt
Wenn $n$ ungerade, dann gilt:
$$ \s{\g{n}} \geq \max\{\g{3n+1}\} $$
Für alle $z \neq 0$ gilt $\abs{\G{z}}=\infty$
Wenn man die Menge auf $4^k-1$ begrenzt, dann ist die Mächtigkeit der Mengen
$$\abs{\G{z}}=\binom{k}{\Re{z}} \cdot \binom{k}{\Im{z}}$$ $$\abs{\G{0}}=\binom{k}{0} \cdot \binom{k}{0}=1$$
$$ \s{g(2n+1)} \geq \s{g(2n+2)}\\ \d{g(2n+2)}= \begin{cases} \d{g(2n+1)}-2\\ \d{g(2n+1)}+1 \end{cases} $$
$$ \g{\frac{4^n + 2 \cdot 4^m}{3} - 1} = n + m\i $$ Für $m=n$ gilt: $$ \g{\frac{4^n + 2 \cdot 4^n}{3} - 1} = \g{4^n\frac{1 + 2}{3} - 1} = \g{1 - 1} + n \cdot \g{3} = n + n\i= n + m\i $$
Für $n<m$ gilt: $$ \g{\frac{4^n + 2 \cdot 4^m}{3} - 1} = \g{4^n\frac{1 + 2 \cdot 4^{m-n}}{3} - 1} = \g{\frac{1 + 2 \cdot 4^{m-n}}{3} - 1} + n \cdot \g{3}=\\ \g{\frac{1 + 2 \cdot 4^{m-n} - 3}{3}} + n \cdot \g{3}= \g{2\frac{ 4^{m-n} - 1}{3}} + n \cdot \g{3}= (m-n)i + n + n\i = n + m\i $$
Für $n>m$ gilt: $$ \g{\frac{4^n + 2 \cdot 4^m}{3} - 1} = \g{4^m\frac{4^{n-m} + 2}{3} - 1} = \g{\frac{ 4^{n-m} -1}{3}} + m \cdot \g{3}=\\ n - m + m + m\i= n+ m\i $$
$$\g{n}=z=\d{z}+\min\{z\}\cdot \g{3}$$