$\sqrt{2}$ ist irrational

Das die Quadratwurzel aus 2 irrational ist, war dem Griechen Hippasos von Metapont bereits um 500 v. Chr. bekannt. Den wohl bekanntesten Beweis hierfür lieferte um 300 v. Chr. der Grieche Euklid.¹⁾ Es existieren hierfür viele weiter Beweise, wie der folgende, der im Ternärsystem geführt wird.

Ab hier sind alle Zahlen zur Basis 3.

In Stellenwertsystem zur Basis 3 kann man die natürlichen Zahlen anhand der niedrigstwertigen Stelle, die nicht Null ist, in 2 Mengen aufteilen.

$$ M_1 = \{ m \vert \exists d, e \in \N_0 : m = \left( 10d + 1 \right) \cdot 10^e \}\\ M_2 = \{ m \vert \exists d, e \in \N_0 : m = \left( 10d + 2 \right) \cdot 10^e \} $$

Sei $m_1 \in M_1$ und $m_2 \in M_2$ - es gilt:

$$ {m_1}^2 = ( 10 d + 1 ) ^ 2 \cdot 10^{ 2e } = ( 100 d^2 + 20 d + 1 ) \cdot 10^{ 2e } = ( 10( d^2 + 2d ) + 1 ) \cdot 10^{ 2e }\\ {m_2}^2 = \left( 10 d + 2 \right) ^ 2 \cdot 10^{ 2e } = \left( 100 d^2 + 110 d + 11 \right) \cdot 10^{ 2e } = \left( 10 \left( d^2 + 11d + 1 \right) + 1 \right) \cdot 10^{ 2e }\\ $$

Somit ist jede Quadratzahl Element von $M_1$. Doch wie sieht es bei der Multiplikation mit 2 aus.

$$ 2 \cdot m_1 = 2 \cdot \left( 10d + 1 \right) \cdot 10^e = \left( 20d + 2 \right) \cdot 10^e \\ 2 \cdot m_2 = 2 \cdot \left( 10d + 2 \right) \cdot 10^e = \left( 20d + 11 \right) \cdot 10^e = \left( 21d + 1 \right) \cdot 10^e $$

Somit ist das doppelte eines Elements aus $M_1$ ein Element von $M_2$ und umgekehrt.

Nehmen wir an, es existieren $z, n \in \N$, so das gilt:

$$\sqrt{2}=\frac{z}{n}$$

dann wäre

$$2n^2=z^2$$

eine äquivalente Aussage.

Wie oben gezeigt, kann das Zweifache einer Quadratzahl und eine Quadratzahl nicht in der selben Menge sein. Aus diesem Widerspruch ergibt sich das $\sqrt2$ irrational ist. $$\qed$$